Connaître / savoir très bien, parfaitement.
Si on sait que cette expression date de 1665, elle semble laisser perplexe les lexicographes, puisqu'on ne trouve pas d'explication certaine sur son origine.
Une chose est sûre, c'est qu'en latin, on disait autrefois « ad unguem » (sur l'ongle). C’était la traduction d'une locution latine qui venait d'une pratique des marbriers romains. Pour s'assurer que deux blocs de marbres étaient bien ajustés, ils touchaient la jointure avec l'ongle, épreuve qui devait prouver la perfection.
La qualité de finition ainsi obtenue aurait donné, par métaphore, la signification « parfaitement », cette locution étant aujourd'hui souvent traduite par « avec le plus grand soin », mais aussi par « sur le bout du doigt ».
Donc, d'où qu'on vienne, c'est toujours le doigt ou son extrémité qui est supposé concentrer le savoir.
Mais un siècle avant que notre expression apparaisse, les locutions « savoir au doigt » et « avoir sur le doigt » voulaient également dire « connaître parfaitement ».
En l'absence de certitude, et en se basant sur les expressions du 16e siècle, on peut émettre une hypothèse : rappelez-vous comment vous avez autrefois appris à lire, avec le doigt suivant laborieusement le texte, pendant que vous le déchiffriez avant de le prononcer.
Ainsi savoir un texte sur le bout des doigts équivaut à le restituer comme si on le lisait en suivant la ligne avec le doigt.