Faire travailler, souvent durement, la main-d'œuvre indigène. Par extension, exploiter, faire travailler exagérément.
Le burnous, de l'arabe « burnus » (selon une des transcriptions existantes), est un grand manteau en laine, avec une capuche, initialement porté par les populations du Maghreb.
Cette expression, qui est attestée au début du 20e siècle, vient de l'époque coloniale, lorsque les colons faisaient travailler dur, voire très dur, leurs employés indigènes, donc implicitement porteur d'un burnous.
On imagine bien que faire travailler ces gens exagérément, dans des pays chauds, ne pouvait que les faire transpirer ou suer.
Mais l'image est plus proche de la viande que l'on fait suer en la cuisant pour en extirper un maximum de jus, l'employeur essayant de tirer un maximum de son employé.
On ne peut s'empêcher de penser aussi au sens argotique de « faire suer » (euphémisme de « faire chier ») car il est certain que cette exploitation abusive (pléonasme ?) devait sérieusement enquiquiner ceux qui la subissaient.