C'est maintenant à vous de parler, d'agir, de faire vos preuves..
Il y a longtemps que la balle est, au figuré, un mot désignant la parole, une action ou une occasion.
En effet, ce mot se retrouve avec cette acception dans plusieurs expressions comme « renvoyer la balle » ou « rattraper la balle », par exemple.
Car dans beaucoup de jeux où on utilise une balle, le but est de l'envoyer dans le camp (la zone de jeu) de l'adversaire, à charge pour lui de nous la renvoyer.
Notre expression est une autre forme, moderne et usuelle, de celle du 17e siècle qui était « à vous la balle », avec le sens de « à vous de parler ».
On y retrouve bien le contexte du jeu où l'on vient d'envoyer la balle (on vient de parler) à l'interlocuteur et où il doit nous la renvoyer (nous répondre).
Son sens initial s'est étendu au delà de la simple parole, puisqu'elle peut aussi inciter aussi à agir.