Être stupéfait.
« Baba » vient du latin médiéval. « batare » (ouvrir la bouche)
C'est ce mot qui a d'ailleurs donné nos verbes « ébahir », « bailler » ou « béer », entre autres.
Et c'est justement de « ébahir » que vient notre expression, « baba » étant d'abord une onomatopée obtenue par redoublement du radical « ba » de ce verbe et créée à la fin du 18e siècle.
A cette période, on l'utilisait aussi comme un nom propre dans l'expression « rester comme baba » ou « rester comme baba, la bouche ouverte ». Ce n'est qu'un siècle plus tard que notre version a commencé à prendre le dessus.