Renoncer à trouver ou à deviner une solution.
Cette expression n'apparaît qu'au 19e siècle.
Auparavant, on disait « Jeter sa langue aux chiens » (Mme de Sévigné).
Aux chiens, on jette les restes, ce qui n'a plus de valeur.
Leur jeter sa langue, c'est leur abandonner son organe de la parole qui n'a plus d'utilité puisqu'on ne dira jamais la solution qu'on renonce à chercher.
Mais pourquoi les chiens sont-ils devenus un chat auquel on donne au lieu de jeter ?
« Mettre quelque chose dans l'oreille du chat » (George Sand), c'était lui confier quelque chose qui devait rester secret, oublié.
Le « chat » avait donc connaissance de beaucoup de choses sans pour autant être capable de les divulguer.
« Donner sa langue au chat » serait ainsi un mélange de « jeter sa langue devenue inutile » mais « la confier au chat » pour être sûr qu'il la gardera, peut-être pour le cas où on déciderait de la récupérer plus tard.