Renoncer définitivement à...
« Faire une croix sur » quelque chose (ou quelqu'un), c'est renoncer à cette chose.
Cette expression, dans sa forme actuelle, nous vient du milieu du 19e siècle.
« Faire la croix / le signe de croix sur le dos à quelque chose » voulait déjà dire « y renoncer », alors que la même chose « sur le dos à quelqu'un », c'était « le quitter ».
Si l'expression fait donc bien référence au signe de croix chrétien, comme on pouvait le supposer, l'idée véhiculée par cette croix sur le dos était celle d'une séparation définitive et solennelle.