Faire le difficile.
A l'origine, on disait « il fait la petite bouche » à propos de quelqu'un qui faisait le difficile face aux plaisirs de la table.
Ce qui se comprend aisément, par opposition à quelqu'un qui ouvre grand la bouche pour ingurgiter toutes les bonnes choses pleines de calories qu'on peut trouver sur une table bien garnie.
Avec le temps, l'expression a évolué, le mot « petite » a été remplacé par « fine » et le sens de l'expression s'est étendu à toutes choses normalement appréciées.