Saliver d'envie. Exciter l'envie ou la curiosité.
S'il existe des expressions dont l'origine est difficilement explicable, ce n'est assurément pas le cas de celle-ci.
Un être humain de 70 kilos contient à peu près 45 litres d'eau. La présence d'une partie de cette eau se vérifie aisément que ce soit avec l'urine, la transpiration, les larmes ou la salive, par exemple.
Vous avez sûrement déjà constaté, dans un moment de grande faim, et face à un plat qui vous plaît beaucoup, l'afflux soudain de salive que provoque dans votre bouche la divine odeur qui se dégage de cette nourriture qui excite votre envie. Réaction chimique normale.
C'est ce phénomène réflexe de plaisir anticipé qui, par extension, fait que toute attente de quelque chose qui nous tente ou nous intrigue fortement nous « met l'eau à la bouche ».
Il ne faut pas chercher plus loin pour comprendre le premier sens de cette expression.