Complètement à la merci de quelqu'un. Dans une situation périlleuse ou désespérée.
C'est par un long chemin que le mot « corde » a fini par désigner ce long truc en chanvre qui sert aussi bien à attacher des objets ensemble, qu'à faire passer de vie à trépas des condamnés à mort.
En effet, le terme vient apparemment du très ancien mot hittite « karad », passé ensuite au grec « khordê », les deux désignant les intestins, boyaux qui ont servi à faire des cordes avant que, dans la plupart des usages, le chanvre puis d'autres matériaux plus modernes viennent remplacer la tubulure digestive dans leur confection.
Le premier sens de l'expression, qui date du début du 15e siècle, est une métaphore qui vient des vaincus qui se livrent. Pensez à l'histoire de la reddition des bourgeois de Calais, qui se mettent à la merci d'Édouard 3 en se présentant devant lui pieds nus, en chemise et une corde au cou.
C'est de cette même image d'asservissement, mais à son épouse, cette fois, qu'on dit d'un homme qui se marie qu'il se met « la corde au cou ».