Abandonner une entreprise, la fermer définitivement et complètement.
Cette expression est ancienne puisqu'elle date du 15e siècle.
Elle a d'abord été utilisée pour désigner ceux qui, louant un logement, s'en allaient en catimini, sans payer leur loyer, mais sans emporter la clé pour autant.
Le « sous » (la porte) ne veut pas dire que la clé est réellement glissée sous la porte comme elle pourrait l'être sous le paillasson de nos jours. Cette préposition véhicule simplement le sens de « discret ou caché » (comme dans « rire sous cape », par exemple).
C'est par extension que l'expression a pris son deuxième sens, d'abord pour les petits commerces, leur faillite se faisant généralement discrètement (ce n'est que quand on cherche à s'y rendre à nouveau qu'on constate leur fermeture définitive)[ et en laissant une ardoise à ses fournisseurs.[1] Bien sûr, même si on l'utilise aujourd'hui largement, y compris pour les plus grandes entreprises, la discrétion n'est plus toujours de mise, avec les plans de licenciement, grèves et autres médiatisations que cela peut entraîner.