Être sur le point de réussir. Tenir l'avantage.
En réalité, il ne faut pas voir ce « bout » au sens propre comme l'extrémité de quelque chose. Il a, au figuré, la signification « de la bonne manière » ou « par le bon côté ». Et une fois qu'on l'a pris, ce bon bout, il n'y a plus qu'à bien le tenir pour avoir des chances de terminer l'affaire favorablement ou de garder l'avantage.
Au 17e siècle, on utilisait l'expression « tenir le bon bout par devers soi » qui voulait dire « avoir déjà des avantages assurés dans une affaire », ce qui, pour le deuxième sens, est très proche de celui d'aujourd'hui.